問題はこちらにあります。
ボールから、大きさ\(N\)の力積をバットに受けたので \[p_{衝突後}-p_{衝突前}=N\] である。バットは静止していたので\(p_{衝突前}=0\)より \[\boldsymbol{p}=N\boldsymbol{e}_x\] となる。
角運動量\(\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\)で、\(\boldsymbol{r}=a\boldsymbol{e}_x\)より \[\boldsymbol{L}=a\boldsymbol{e}_x\times N\boldsymbol{e}_y\] \[\therefore \boldsymbol{L}=aN\boldsymbol{e}_z\] となる。
角運動量は保存するので \[aN=d\times Mv\] \[\therefore v=\frac{aN}{Md}\] ベクトルも考えて \[\boldsymbol{v}=\frac{aN}{Md}(-\boldsymbol{e}_y)\] である。
はじめ、ボールがバットにおよぼした力を\(F\)とすると、重心Gまわりの回転運動方程式は \[I\frac{d\omega}{dt}=Fa\] とかける。\(\omega(t=0)=0\), \(\omega(t=\varDelta t)=\omega_0\)で積分すると \[I\int_{0}^{\omega_0}d\omega=a\int_{0}^{\varDelta t}Fdt\] \[\therefore I\omega_0=aP\tag{1}\] また、運動量と力積の関係より、重心Gでの速度を\(v_g\)とすると \[v_g=\frac{p}{M}\] である。問題文の条件より、衝突した瞬間の点Pの速度は\(|\boldsymbol{v}|=0\)より \[v_g=\frac{p}{M}=d\omega_0\tag{2}\] となる。(1)式と(2)式から、\(\omega_0\)を消去して \[d=\frac{I}{Ma}\] となる。
ちょっと待ってね。